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Pierre-Edouard Portier 2022-03-14 13:31:39 +01:00
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@ -34,7 +34,7 @@ Puisque $\sum_i CTR_{i,\alpha} = 1$, nous pouvons considérer, de façon heurist
Nous pouvons similairement mesurer combien l'axe $\mathbf{v_\alpha}$ contribue à expliquer l'écart au centre de gravité d'une observation $\mathbf{x_i}$ :
$$COS2_{i,\alpha} = \frac{f_{i,\alpha}^2}{\sum_\alpha f_{i,\alpha}^2} = \frac{f_{i,\alpha}^2}{d_{i,g}^2}$$
Avec $d_{i,g}^2$ le carré de la distance de l'observation $\mathbf{x_i}$ au centre de gravité $g$. $d_{i,g}^2 = \sum_j \left(x_{i,j}-g_j\right)^2$. Si les données sont centrées alors $d_{i,g}^2 = \sum_j x_{i,j}^2$. La somme des carrés des distances au centre de gravité pour toutes les observations est égale à la variance totale des données, ou inertie totale : $\sum_i d_{i,j}^2 = \mathcal{I} = \sum_\alpha \lambda_\alpha$.
Avec $d_{i,g}^2$ le carré de la distance de l'observation $\mathbf{x_i}$ au centre de gravité $g$. $d_{i,g}^2 = \sum_j \left(x_{i,j}-g_j\right)^2$. Si les données sont centrées alors $d_{i,g}^2 = \sum_j x_{i,j}^2$. La somme des carrés des distances au centre de gravité pour toutes les observations est égale à la variance totale des données, ou inertie totale : $\sum_i d_{i,g}^2 = \mathcal{I} = \sum_\alpha \lambda_\alpha$.
## Contribution des variables aux axes principaux

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@ -14,7 +14,7 @@ source("05_presentation_svd.R", local = knitr::knit_global())
- $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times p}$ ; $x_{ij} \in \mathbb{R}$
- Nuage de $n$ points $\mathbf{x_i}$ dans $\mathbb{R}^p$
- Nuage de $p$ points $\mathbf{x_j}$ dans $\mathbb{R}^n$
- Projeter le nuage des points $\mathbf{x_i}$ sur $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^P$
- Projeter le nuage des points $\mathbf{x_i}$ sur $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^p$
- Minimiser les déformations
# Meilleur sous-espace de dimension $1$