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title: "02 Méthode des moindres carrés"
author: Pierre-Edouard Portier
date: mars 2022
output: beamer_presentation
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```{r, include=FALSE}
source("01_intro.R", local = knitr::knit_global())
source("02_moindres_carres.R", local = knitr::knit_global())
```

# Espace de fonctions

- $f(\mathbf{x}) = \beta_1 f_1(\mathbf{x}) + \beta_2 f_2(\mathbf{x}) + \dots + \beta_p f_p(\mathbf{x})$
- Jeu de données $\left\{ \mathbf{x^{(k)}},y^{(k)}\right\}_{k=1}^{n}$

$$
\left( \begin{array}{ccccc}
f_1(\mathbf{x^{(1)}}) & f_2(\mathbf{x^{(1)}}) & \dots & f_p(\mathbf{x^{(1)}}) \\
f_1(\mathbf{x^{(2)}}) & f_2(\mathbf{x^{(2)}}) & \dots & f_p(\mathbf{x^{(2)}}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
f_1(\mathbf{x^{(n)}}) & f_2(\mathbf{x^{(n)}}) & \dots & f_p(\mathbf{x^{(n)}})
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{c}
\beta_1 \\ \beta_2 \\ \dots \\ \beta_p
\end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{c}
y^{(1)} \\ y^{(2)} \\ \dots \\ y^{(n)}
\end{array} \right)
$$

- $\mathbf{X}\boldsymbol\beta = \mathbf{y}$
- Par ex., $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^1$ et $f_1(x)=1, f_2(x)=x, f_3(x)=x^2,\dots, f_p(x)=x^{p-1}$ (régression polynomiale)

# Moindres carrés

- Annuler la dérivée selon $\boldsymbol\beta$ de la fonction convexe $\|\mathbf{X}\boldsymbol\beta-\mathbf{y}\|^2_2$
- $\|\mathbf{X}\boldsymbol\beta-\mathbf{y}\|^2_2 = \boldsymbol\beta^T\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol\beta - 2\boldsymbol\beta^T\mathbf{X}^T\mathbf{y} + \mathbf{y}^T\mathbf{y}$
- $\mathbf{0} = 2\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol\beta - 2\mathbf{X}^T\mathbf{y} \quad \equiv \quad \mathbf{X}^T\mathbf{X} \boldsymbol\beta = \mathbf{X}^T\mathbf{y}$
- $\hat{\boldsymbol\beta} = \left(\mathbf{X}^T\mathbf{X}\right)^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{y}$

# Exemple pour un polynôme de degré $3$

```{r, echo=FALSE}
set.seed(1123)
# Image par f d'un échantillon uniforme sur l'intervalle [0,1], avec ajout d'un
# bruit gaussien de moyenne nulle et d'écart type 0.2
data = gendat(10,0.2)
coef = polyreg2(data,3)
plt(data,f)
pltpoly(coef)
```