# Approximation de Nyström

```{r, include=FALSE}
source("01_intro_code.R", local = knitr::knit_global())
source("04_validation_croisee_code.R", local = knitr::knit_global())
source("18_kernel_ridge_regression_code.R", local = knitr::knit_global())
```

## Approximation de Nyström d'un noyau

Soit un jeu de données.
$$
(\mathbf{x_i},y_i) \quad \text{avec} \quad i=1,\dots,n \quad ; \quad y_i \in \mathbb{R} \quad ; \quad \mathbf{x_i} \in \mathbb{R}^d
$$
Soit un noyau $\mathbf{K}$ (par ex. gaussien).
$$
\mathbf{K} =
\left[
\begin{array}{ccc}
k(\mathbf{x_1},\mathbf{x_1}) & \dots & k(\mathbf{x_1},\mathbf{x_n}) \\
\dots & \dots & \dots \\
k(\mathbf{x_n},\mathbf{x_1}) & \dots & k(\mathbf{x_n},\mathbf{x_n}) \\
\end{array}
\right]
$$

Soit une approximation de rang $m$ de $\mathbf{K}$ (exprimée en fonction de la décomposition en valeurs propres).
$$
\mathbf{K} \approx \mathbf{U}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U}^T \quad ; \quad \mathbf{U} \in \mathbb{R}^{n \times m} \quad ; \quad \mathbf{\Lambda} \in \mathbb{R}^{m \times m}
$$

Lorsque le noyau original est utilisé, chacune des $n$ observations du jeu de données d'apprentissage sert de centre à partir duquel mesurer la proximité d'une nouvelle observation. Le principe de l'approximation de rang $m$, selon l'approche dite de Nyström, est de ne conserver que $m$ des $n$ observations comme centres à partir desquels mesurer la proximité de nouvelles observations. Nous sélectionnons ainsi $m$ observations ($m$ lignes de $\mathbf{X}$). Plusieurs approches sont possibles (par ex., de façon aléatoire, par l'algorithme des $k$-médoïdes, etc.).
$$
\mathbf{K} =
\left[
\begin{array}{cc}
\mathbf{K_{11}} & \mathbf{K_{21}^T}  \\
\mathbf{K_{21}} & \mathbf{K_{22}}  \\
\end{array}
\right]
\quad ; \quad
\mathbf{K_{11}} \in \mathbb{R}^{m \times m}
\quad ; \quad
\mathbf{K_{21}} \in \mathbb{R}^{(n-m) \times m}
$$

L'approximation de Nyström construit une approximation de rang $m$ de $\mathbf{K}$ sans évaluer $\mathbf{K_{22}}$. Commençons par exprimer l'approximation de rang $m$ sous forme de matrices blocs.
$$
\mathbf{K} \approx
\left[
\begin{array}{c}
\mathbf{U_1}  \\
\mathbf{U_2}  \\
\end{array}
\right]
\mathbf{\Lambda}
\left[
\begin{array}{c}
\mathbf{U_1}  \\
\mathbf{U_2}  \\
\end{array}
\right]^T
=
\left[
\begin{array}{cc}
\mathbf{U_1}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U_1}^T & \mathbf{U_1}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U_2}^T \\
\mathbf{U_2}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U_1}^T & \mathbf{U_2}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U_2}^T \\
\end{array}
\right]
\quad ; \quad
\mathbf{U_1} \in \mathbb{R}^{m \times m}
\quad ; \quad
\mathbf{U_2} \in \mathbb{R}^{(n-m) \times m}
$$

Nous remarquons que $\mathbf{K_{11}} \approx \mathbf{U_1}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U_1}^T$ et $\mathbf{K_{21}} \approx \mathbf{U_2}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U_1}^T$.

Nous souhaitons éviter d'avoir à évaluer $\mathbf{U_2}$ dans l'approximation de $\mathbf{K_{22}}$. Nous cherchons donc une expression de $\mathbf{U_2}$ en fonction d'autres termes.
$$
\begin{aligned}
 & \mathbf{K_{21}} \approx \mathbf{U_2}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U_1}^T \\
= \{& \text{Multiplication des deux membres de l'égalité par un même terme non nul.} \} \\
 & \mathbf{K_{21}} \left( \mathbf{\Lambda}\mathbf{U_1}^T \right)^{-1} \approx \mathbf{U_2}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U_1}^T \left( \mathbf{\Lambda}\mathbf{U_1}^T \right)^{-1} \\
= \{& \text{Algèbre linéaire. $\mathbf{U_1}$ est orthogonale donc $\mathbf{U_1}^{-1}=\mathbf{U_1}^T$} \} \\
 & \mathbf{K_{21}} \mathbf{U_1} \mathbf{\Lambda}^{-1} \approx \mathbf{U_2}
\end{aligned}
$$

Nous pouvons maintenant découvrir une approximation de $\mathbf{K_{22}}$ en fonction de celles de $\mathbf{K_{21}}$ et $\mathbf{K_{11}}$.
$$
\begin{aligned}
 & \mathbf{K_{22}} \\
\approx \{& \text{Définition de la décomposition en valeurs propres pour l'approximation de rang $m$ de $\mathbf{K}$} \} \\
 & \mathbf{U_2}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U_2}^T \\
= \{& \text{Expression de $\mathbf{U_2}$ découverte ci-dessus.} \} \\
 & \left(\mathbf{K_{21}} \mathbf{U_1} \mathbf{\Lambda}^{-1}\right)\mathbf{\Lambda}\left(\mathbf{K_{21}} \mathbf{U_1} \mathbf{\Lambda}^{-1}\right)^T \\
= \{& \text{Algèbre linéaire.} \} \\
 & \mathbf{K_{21}} \mathbf{U_1} \mathbf{\Lambda}^{-1} \mathbf{U_1}^T \mathbf{K_{21}}^T \\
= \{& \text{Définition de $\mathbf{K_{11}}$ dans la décomposition en valeurs propres pour l'approximation de rang $m$ de $\mathbf{K}$} \} \\
 & \mathbf{K_{21}} \mathbf{K_{11}}^{-1} \mathbf{K_{21}}^T \\
= \{& \text{Algèbre linéaire.} \} \\
 & \left(\mathbf{K_{21}} \mathbf{K_{11}}^{-1/2}\right) \left(\mathbf{K_{21}} \mathbf{K_{11}}^{-1/2}\right)^T
\end{aligned}
$$

Ainsi, nous pouvons introduire une matrice $\boldsymbol\Phi$ de dimension $m$ telle que $\mathbf{K} \approx \boldsymbol\Phi \boldsymbol\Phi^T$.
$$
\boldsymbol\Phi =
\left[
\begin{array}{c}
\mathbf{K_{11}}^{1/2}  \\
\mathbf{K_{21}} \mathbf{K_{11}}^{-1/2}  \\
\end{array}
\right]
$$

## Calcul de l'approximation de Nyström

Notons $\mathbf{C}$ la sélection des $m$ colonnes de $\mathbf{K}$.
$$
\mathbf{C} =
\left[
\begin{array}{c}
\mathbf{K_{11}}  \\
\mathbf{K_{21}}  \\
\end{array}
\right]
$$

Nous avons :
$$
\mathbf{C} \mathbf{K_{11}}^{-1} \mathbf{C}^T =
\left[
\begin{array}{c}
\mathbf{I}  \\
\mathbf{K_{21}} \mathbf{K_{11}}^{-1}  \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{cc}
\mathbf{K_{11}}^T & \mathbf{K_{21}}^T  \\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{cc}
\mathbf{K_{11}}^T & \mathbf{K_{21}}^T  \\
\mathbf{K_{21}} & \mathbf{K_{21}} \mathbf{K_{11}}^{-1} \mathbf{K_{21}}^T \\
\end{array}
\right]
\approx \mathbf{K}
$$

Nous pouvons donc calculer une approximation de rang $m$ de $\mathbf{K} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ en ne calculant que $\mathbf{C} \in \mathbb{R}^{n \times m}$ (c'est-à-dire, $m$ colonnes de $\mathbf{K}$) et la décomposition en valeurs propres de $\mathbf{K_{11}} \in \mathbb{R}^{m \times m}$.
$$
\begin{aligned}
 & \mathbf{K} \approx \mathbf{C} \mathbf{K_{11}}^{-1} \mathbf{C}^T \\
= \{& \mathbf{K_{11}} = \mathbf{U}\boldsymbol\Sigma\mathbf{U}^T \} \\
 & \mathbf{K} \approx \mathbf{C} \mathbf{U}\boldsymbol\Sigma^{-1}\mathbf{U}^T \mathbf{C}^T \\
= \{& \mathbf{L} \triangleq \mathbf{C} \mathbf{U}\boldsymbol\Sigma^{-1/2} \} \\
 & \mathbf{K} \approx \mathbf{L}\mathbf{L}^T
\end{aligned}
$$

## Régression ridge à noyau et approximation de Nyström

Dans le cadre de la régression ridge à noyau (voir un précédent module), nous notons : $\mathbf{G} = \mathbf{K} + \lambda\mathbf{I_n}$. Les coefficients du modèle ridge sont alors donnés par : $\boldsymbol\alpha_\lambda = \mathbf{G}^{-1} \mathbf{y}$. Nous cherchons à calculer efficacement $\mathbf{G}^{-1}$ à partir d'une approximation Nyström de rang $m$ de $\mathbf{K} \approx \mathbf{L}\mathbf{L}^T$. Pour ce faire, nous utilisons une forme de l'identité de Woodbury :
$$
\left(\mathbf{A} + \mathbf{U}\mathbf{C}\mathbf{V}\right)^{-1} = \mathbf{A}^{-1} - \mathbf{A}^{-1}\mathbf{U}\left(\mathbf{C}^{-1} + \mathbf{V}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{U}\right)^{-1}\mathbf{V} \mathbf{A}^{-1}
$$

Nous obtenons ainsi :
$$
\begin{aligned}
 & \mathbf{G}^{-1} \\
= \{& \text{Définition de $\mathbf{G}$} \} \\
 & \left(\lambda\mathbf{I_n} + \mathbf{K}\right)^{-1} \\
\approx \{& \text{Approximation de Nyström} \} \\
 & \left(\lambda\mathbf{I_n} + \mathbf{L}\mathbf{L}^T\right)^{-1} \\
= \{& \text{Identité de Woodbury} \} \\
 & \lambda^{-1}\mathbf{I_n} - \lambda^{-1}\mathbf{L}\left(\mathbf{I_m}+\lambda^{-1}\mathbf{L}^T\mathbf{L}\right)^{-1}\lambda^{-1}\mathbf{L}^T \\
= \{& \text{Algèbre linéaire : si $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ sont des matrices carrés inversibles alors $(\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$} \} \\
 & \lambda^{-1}\mathbf{I_n} - \lambda^{-1}\mathbf{L}\left(\lambda\mathbf{I_m}+\mathbf{L}^T\mathbf{L}\right)^{-1}\mathbf{L}^T \\
\end{aligned}
$$